(转)以最小作用量原理为第一性原理的经典演绎
摘要
朗道力学行文之简洁有力的基础，我认为是抓住了经典力学的本质——最小作用量原理，并以其为第一性原理，通过变分法的数学演绎来建立整个经典力学体系。
拉格朗日分析
很多人认为朗道的书很难，但我认为难的其实并不是朗道书里面花哨的积分或者各种推导技巧，难的是朗道在书中体现的对理论体系的物理本质的思考。比如在拉格朗日函数等于T-V的推导时，其实是合理地从积分泛函的物理本质结合数学结构的基础上合理猜出了动能在笛卡尔坐标中的一般形式，顺便还得出了笛卡尔系下质量的定义——拉格朗日函数对伽利略变换时全导数项的乘数因子。在建立三大守恒律与三大对称性的桥梁时更是体现了朗道对对称性的深刻理解，通过不变量的构造展现了诺特定理的内涵，不过没有在书中完整地展现和演绎诺特定理是有点遗憾的。
这样的演绎方法最大的好处就是理论的结构和体系非常完整和优美，在具体力学过程的演绎上也是从拉格朗日函数上出发利用拉氏方程来解决具体问题。我以为正是广义坐标的引入体现了力学体系的一般性，这使得拉格朗日力学具有普适性，通过在逻辑上先不考虑约束的存在，而后再通过约束减少方程个数，这也使得拉格朗日力学相比利用几何约束来构造牛顿方程的牛顿力学更加自然，这些共同形成了拉格朗日力学对牛顿力学的先进性——本质上完成了力学空间从欧氏空间到位形空间的拓展。
哈密顿分析
但是这对于经典力学的研究并没有画上一个句号——力学的几何特征并没有在拉格朗日力学中得到最大的显现。对于定义在位形空间的拉氏力学而言，一个可积系统在宏观上很有可能是杂乱无章的，比如对于统计物理中的各种模型，使用拉氏量来描述体系是不够能体现体系的某些共同特征的；同时在处理坐标和速度的地位上也是有一点缺憾的——位置和速度可以分别同时给定，这就隐含了位置与速度在描述运动的地位上是不是可以相等的问题。这时，利用勒让德变换就能够将拉格朗日力学过渡到更加先进的哈密顿力学上来。
勒让德变换在变换拉格朗日函数的时候很像分部积分，通过对微分拉氏量的数学变换，可以构造出一个以广义动量和广义坐标为变量的描述力学的量——哈密顿量。哈密顿力学的威力就在于更高的对称性，通过参数空间的拓展，由哈密顿量导出的正则方程拥有了拉氏方程不具有的高对称性，同时方程阶数由二阶降到一阶、方程个数则翻了倍，我们由此可以从正则方程中得到更多对系统的描述，在数值计算时甚至可以提高效率和可靠性。这种对称性使得定义在“相空间”的哈密顿力学有能力开始展现更多的力学系统的几何特征，力学系统在相空间中可以自然形成流形，同时刘维尔定理告诉我们相空间体积元对正则变换不变，这给了我们研究力学系统在相空间中流形上的性质时最好的工具，正如朗道在“正则变换”一节中说的那样：“对这种可能变换类型的扩大是力学的哈密顿方法的重要优点之一”。
当然，哈密顿力学中的重要概念——泊松括号，这种算符的存在使得运动积分的构造变得程序化，毕竟两个运动积分的泊松括号也是运动积分，这对于力学的不变量理论是极其重要的。但是泊松括号的意义不仅仅在于此，其在量子力学中的映射——对易子算符对量子力学具有重要意义。
结束语
从朗道力学的目录来看，全书非常精炼，为了完成力学体系的构造，没有一节是冗余的，信息量非常大，在研读哈密顿力学之时有很多推导的细节都非常强调亲手推导，这种高屋建瓴的视角正是理论工作者所需要的。
(转)以最小作用量原理为第一性原理的经典演绎